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L'intégration traite de deux problèmes fondamentalement différents.
Dans le premier type, on donne le dérivé de la fonction, nous voulons trouver la fonction. Par conséquent, nous avons fondamentalement inversé le processus de différentiation. Ce processus inverse est appelé antidérivation, ou trouver la fonction primitive, ou trouverintégrale impécunieuse.
Le deuxième type de problème implique d'ajouter de grandes quantités de très petites quantités, puis de prendre une limite lorsque la taille des quantités approche zéro, tandis que le nombre de termes tend vers l'infini. La définition de ce processusintégrale définie.
L'intégrale définie est utilisée pour trouver la surface, le volume, le centre de gravité, le moment d'inertie, la quantité de travail effectuée par une force et de nombreuses autres applications.
Selon la définition, si le dérivé de la fonction f(x) est f'(x), alors nous disons que l'intégrale impécunieuse de f'(x) par rapport à x est f(x). Par exemple, en raison de x 2le dérivé de (par rapport à x) est2x, donc on peut dire2l'intégrale impécunieuse de x est x 2.
dans le symbole-
f'(x2) = 2x， donc,
∫ 2xdx = x2.
L'intégrale indéfinie n'est pas unique, car pour toute valeur de la constante c, x 2 + La dérivée de c aussi sera2x。
Ce qui est représenté symboliquement par-
∫ 2xdx = x2 + c.
où, c est appelé le "constante arbitraire".
MATLAB fournitintLa commande utilisée pour calculer l'intégrale d'une expression. Pour obtenir l'expression de l'intégrale indéfinie d'une fonction, nous écrivons :
int(f);
Par exemple, à partir de nos exemples précédents-
syms x int(2*x)
MATLAB exécute les instructions ci-dessus et renvoie le résultat suivant-
ans = x^2
Dans cet exemple, nous allons trouver les intégrales de certaines expressions courantes. Créez un fichier de script et tapez le code suivant à l'intérieur-
syms x n int(sym(x^n)) f = 'sin(n*t)' int(sym(f)) syms a t int(a*cos(pi*t)) int(a^x)
Lorsque le fichier est exécuté, il affiche le résultat suivant-
ans = piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)]) f = sin(n*t) ans = -cos(n*t)/n ans = (a*sin(pi*t))/pi ans = a^x/log(a)
Créez un fichier de script et tapez le code suivant à l'intérieur-
syms x n int(cos(x)) int(exp(x)) int(log(x)) int(x^-1) int(x^5*cos(5*x)) pretty(int(x^5*cos(5*x))) int(x^-5) int(sec(x)^2) pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2)) int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2) pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
Veuillez noter que,prettyLes fonctions sont retournées sous une forme plus lisible.
Lorsque le fichier est exécuté, il affiche le résultat suivant-
ans = sin(x) ans = exp(x) ans = x*(log(x) - 1) ans = log(x) ans = (24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5 2 4 24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x) ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 3125 625 125 5 3 5 4 x sin(5 x) x sin(5 x) ------------- + ----------- 25 5 ans = -1/(4*x^4) ans = tan(x) 2 x (3 x - 5 x + 1) ans = - (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2 6 5 4 3 7 x 3 x 5 x x - ---- - ---- + ---- + -- 12 5 8 2
Selon la définition, l'intégrale définie est essentiellement la limite d'une somme. Nous utilisons l'intégrale définie pour trouver des surfaces, par exemple la surface entre une courbe et l'axe des x, ou entre deux courbes. Elle peut également être utilisée dans d'autres cas, où la quantité nécessaire peut être représentée comme la limite d'une somme.
intEn transmettant les bornes de l'intégrale à calculer, cette fonction peut être utilisée pour déterminer l'intégrale.
Calculer
Nous écrivons :
int(x, a, b)
Par exemple, pour calculer une valeur, nous écrivons :
int(x, 4, 9)
MATLAB exécute les instructions ci-dessus et renvoie le résultat suivant-
ans = 65/2
Voici l'équivalent d'Octave pour les calculs ci-dessus-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Surface: '), disp(double(a));Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant-
Surface: 32.500
Il est possible d'obtenir une solution de remplacement en utilisant la fonction quad() fournie par Octave, comme suit :
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Surface: '), disp(double(a));Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant-
Surface: 32.500
Calculons sur l'axe x et la courbe y = x 3 -2x + 5et les coordonnées纵坐标 x = 1et x = 2La surface entourée par cette zone.
La surface nécessaire est donnée par l'expression suivante :
Créez un fichier de script et entrez le code suivant-
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Surface: '), disp(double(a));Lorsque le fichier est exécuté, il affiche le résultat suivant-
a = 23/4 Surface: 5.7500
Voici l'équivalent d'Octave pour les calculs ci-dessus-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Surface: '), disp(double(a));Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant-
Surface: 5.7500
Il est possible d'obtenir une solution de remplacement en utilisant la fonction quad() fournie par Octave, comme suit :
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Surface: '), disp(double(a));Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant-
Surface: 5.7500
Trouver la surface sous la courbe : f(x)= x 2 cos(x)représente -4≤x≤9.
Créez un fichier de script et écrivez le code suivant-
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Surface: '), disp(double(a));Lorsque le fichier est exécuté, MATLAB dessine un graphique-
Sortie suivante-
a = 8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9) Surface: 0.3326
Voici l'équivalent d'Octave pour les calculs ci-dessus-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Surface: '), disp(double(a));